Dynamische Verfahren, Überblick
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Kapitalwert, Grundgedanke
Der Grundgedanke des Kapitalwertes ist es zu berechnen, was eine Investition heute wert ist. Der Kapitalwert ist einmal anwendbar, wenn die Frage entschieden werden soll, ob eine Maschine gekauft oder das Geld auf der Bank angelegt werden soll (kurz: Sachinvestition oder Finanzinvestition?). Zum anderen kann der Kapital-wert als Entscheidungskriterium angewendet werden, wenn zwischen mehreren Maschinen entschieden werden soll.
Sachinvestition oder Finanzinvestition?
Die Frage, die wir nun betrachten wollen, um den Kapitalwert kennen zu lernen, lautet: ist eine einzelne Sachinvestition vorteilhaft oder nicht? Unsere Frage lautet also: Sachinvestition oder Finanzinvestition?
Wir unterstellen, dass uns folgende Zahlungen bekannt sind:
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t = 0 |
t = 1 |
t = 2 |
t = 3 |
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Einzahlungen |
– |
1000,00 |
1500,00 |
1300,00 |
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Auszahlungen |
– 2600,00 |
– 300,00 |
– 200,00 |
300,00 |
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Einzahlungs- überschuss |
– 2600,00 |
700,00 |
1300,00 |
1000,00 |
Der Kapitalwert zinst nun sämtliche Zahlungen auf den Zeitpunkt t = 0 ab.
t = 0 t = 1 t = 2 t = 3
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||||
-2.600 700 1.300 1.000
Abzinsung
Der Kapitalwert benutzt den Abzinsungsfaktor
Der Kapitalwert möchte wissen, was die zukünftigen Zahlungen der Maschine heute wert sind. Also müssen EUR 700,00 für ein Jahr abgezinst werden, EUR 1300,00 müssen für zwei Jahre abgezinst werden und EUR 1000,00 müssen für drei Jahre abgezinst werden. Die Frage ist: mit welchem Zinssatz soll die Abzinsung erfolgen?
Der Kalkulationszinssatz (KZF)
Der Kapitalwert nimmt einen einheitlichen Zinssatz für die gesamte Laufzeit an. Dieser Zinssatz wird Kalkulationszinssatz oder auch Kalkulationszinsfuß genannt.
Wie hoch sollte der Kalkulationszinssatz sein?
Um dies zu beantworten, müssen wir uns noch einmal unser Ausgangsproblem vor Augen führen. Es lautet: sollen wir die Maschine kaufen oder das Geld auf die Bank legen? Deswegen sollten wir als Kalkulationszinsatz einen Zins wählen, der in etwa so hoch ist, wie der, den wir für eine Geldanlage bei der Bank bekommen würden.
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Wenn wir uns für einen Zins entschieden haben, sind wir allerdings festgelegt. Der Zinssatz ist einheitlich. Zinsveränderungen im Laufe der Jahre können nicht be-rücksichtigt werden.
Berechnung des Kapitalwertes am Beispiel
Nehmen wir nun als Kalkulationszinssatz 5% an, um den Kapitalwert zu berechnen:
700,00 abgezinst für ein Jahr: 700,00 . 1,05-1 = 666,67
1300,00 abgezinst für zwei Jahre: 1300,00 . 1,05-2 = 1179,14
1000,00 abgezinst für drei Jahre: 1000,00 . 1,05-3 = 863,84
abzüglich Anschaffungsauszahlung 2600,00
Kapitalwert: 109,65
Berechnung des Kapitalwertes allgemein
Der Kapitalwert ist der Wert, der übrig bleibt, wenn alle Zahlungen auf den Zeitpunkt t = 0 mit dem Kalkulationszinssatz abgezinst und mit der Anschaffungsauszahlung verrechnet werden. Somit können wir die Berechnung des Kapitalwertes allgemein formulieren:
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Was sagt der Kapitalwert aus?
Wir haben nun einen Kapitalwert von EUR 109,65 berechnet. Was sagt dieser Wert aus? Er sagt aus, dass der Kauf der Maschine EUR 109,65 mehr bringt, als die Anlage des Geldes bei der Bank!
Die Entscheidungskriterien des Kapitalwertes
Wenn wir für den Kapitalwert das Symbol "C" verwenden, können wir sagen:
C > 0 bedeutet, dass die Sachinvestition gegenüber der Finanzinvestition besser ist.
C < 0 bedeutet, dass die Sachinvestition gegenüber der Finanzanlage schlechter ist.
C = 0 bedeutet, dass es egal ist, welche der beiden Alternativen zu wählen ist. (Entscheidungsindifferenz).
Verkürzt ausgedrückt:
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Müssen wir – anders als hier – die Entscheidung zwischen mehreren Maschinen treffen, so wählen wir die Maschine mit dem größten Kapitalwert.
Die relative Vorteilhaftigkeit des Kapitalwertes
Unsere Berechnung ergab einen Kapitalwert von EUR 109,65. Unsere Sachinve-stition ist also um EUR 109,65 besser als die Finanzinvestition. Wieso eigentlich?
Genau betrachtet wird der Kapitalwert der Sachinvestition von EUR 109,65 mit dem Kapitalwert der Finanzinvestition verglichen. Der Kapitalwert der Finanzinvestition hat den Wert Null. Dies wollen wir nun genauer betrachten:
Der Kapitalwert der Finanzinvestition
Wir hätten die EUR 2600,00 ja auch auf der Bank anlegen, also eine Finanzinve-stition tätigen können. Wie hoch ist der Kapitalwert dieser Finanzinvestition ?
EUR 2600,00 bringen nach drei Jahren:
2600 . 1,053 = 3009,83
Nach drei Jahren bekommen wir also EUR 3009,83. Das ist aber nicht die Fragestellung des Kapitalwertes. Der Kapitalwert will nicht wissen, wie der Wert in drei Jahren ist, sondern er will wissen, wie der Wert heute ist. Wir müssen also die EUR 3009,83 wieder für drei Jahre abzinsen.
Nachdem wir das getan haben, müssen wir noch die Anschaffungsauszahlung von EUR 2600,00 abziehen. So bestimmt es die Berechnung des Kapitalwertes. Es ergibt sich:
3009,83 abgezinst für drei Jahre: 3009,83 . 1,05-3 = 2600,00
abzüglich Anschaffungsauszahlung 2600,00
Kapitalwert der Finanzinvestition: 0,00
Allgemein können wir sagen:
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Somit sind die Entscheidungskriterien des Kapitalwertes einsichtig. Wenn der Kapitalwert der Sachinvestition größer Null ist, also zum Beispiel wie oben den Wert von EUR 109,65 hat, so erhalten wir EUR 109,65 mehr, wenn wir die Maschine kaufen. Wenn wir stattdessen das Geld auf die Bank legen, so ist der Kapitalwert der Finanzinvestition Null. Wir erhalten also EUR 109,65 mehr als EUR 0,00.
Die besondere Bedeutung des Kalkulationszinsfußes
Der positive Kapitalwert von EUR 109,65 ergibt sich nur bei einem angenom-menen Kalkulationszinsfuß von 5%. Nehmen wir zum Beispiel statt 5 % als Kal-kulationszinsfuß 8 % an. Sonst bleiben alle Zahlenangaben des obigen Rechen-beispiels gleich. Als Kapitalwert ergibt sich nun:
700,00 abgezinst für ein Jahr: 700,00 . 1,08-1 = 648,15
1300,00 abgezinst für zwei Jahre: 1300,00 . 1,08-2 = 1114,54
1000,00 abgezinst für drei Jahre: 1000,00 . 1,08-3 = 793,83
abzüglich Anschaffungsauszahlung –2600,00
Kapitalwert: – 43,48
Bei einem Kalkulationszinssatz von 8 % erhalten wir einen negativen Kapitalwert! Bei angenommenen 8 % dürfen wir uns jetzt nicht mehr für die Sachinvestition, sondern müssen uns für die Finanzinvestition entscheiden. Allgemein können wir sagen:
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Allein die Höhe des Kalkulationszinsfußes kann also zu völlig anderen Ergebnissen führen. Es ist also entscheidend, welchen Kalkulationszinsfuß wir wählen. Um eine möglichst objektive Entscheidung zu fällen ist also wichtig, dass der gewählte Kal-kulationszinsfuß möglichst gut repräsentiert, was die Finanzanlage auf dem Kapital-markt erbringt.
Prämissen (= Annahmen) des Kapitalwertes
Abschließend schauen wir uns an, welche Prämissen vorausgesetzt werden, damit der Kapitalwert zu vernünftigen Ergebnissen führt, und welche Probleme es gibt, weil diese Prämissen in der Realität oft nicht erfüllt sind.
Zunächst einmal ist der Kapitalwert, wie auch die anderen Verfahren der Investi-tionsrechnung, ein rein quantitatives Rechenverfahren. Das heißt, alle qualitativen Kriterien werden nicht berücksichtigt. Solche qualitativen Kriterien sind z. B. Unfall-sicherheit und Bedienerfreundlichkeit einer Maschine.
Die vielleicht "schlimmste" Prämisse des Kapitalwertes ist, dass er Datenbe-stimmbarkeit für alle Zahlungen und für die Nutzungsdauer, sowie Sicherheit für diese Daten unterstellt. Im Modell sind also alle zukünftigen Daten bekannt und werden als sicher vorausgesetzt. In Wahrheit werden die Konkurrenz-, Kosten-, Preis-, Währungs- und Gewinnverhältnisse immer unberechenbarer. Gar nicht zu reden von Veränderungen der Gesetzeslage, die dazu führen können, dass plötzlich Zahlungen relevant werden, die man gar nicht in das Kalkül einbezogen hat, wie z. B. Zahlungen für Betriebshaftungskosten, Sozialauflagen und Entsorgungskosten.
Der Kapitalwert unterstellt außerdem, dass alle Zahlungen genau der betreffenden Maschine zurechenbar sein müssen. Diese Zurechnung kann in der Praxis große Schwierigkeiten bereiten.
Zinsschwankungen, die in der Praxis häufig vorkommen, berücksichtigt der Ka-pitalwert ebenfalls nicht, da er von einem konstanten Kalkulationszinsfuß ausgeht.
Alle Zahlungen, die der Kapitalwert annimmt, erfolgen laut Prämisse genau am Periodenende. In der Praxis ist eher ein monatlicher Zahlungsfluss anzunehmen.
Der Kapitalwert arbeitet außerdem mit der Prämisse des vollkommenen Kapital-marktes. Dies bedeutet, dass sich ein einheitlicher Zinssatz gebildet hat (Sollzinsfuß = Habenzinsfuß). Außerdem herrscht vollkommene Transparenz, unendlich schnelle Reaktionsgeschwindigkeit und Abwesenheit von Präferenzen. Kapital ist unbegrenzt verfügbar.
Entscheidung zwischen zwei Investitionsobjekten
Wenn wir uns zwischen zwei oder mehr Investitionsobjekten mit dem Kapitalwert-kriterium entscheiden, so gilt folgenden Regel:
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Probleme dieser Entscheidungsregel
So einleuchtend diese Regel klingt, so problematisch kann sie im Einzelfall sein. Betrachten wir folgendes Beispiel:
t = 0 t = 1 t = 2
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Maschine A:
-100 0 133,10
t = 0 t = 1
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Maschine B:
-100 121
Mit Hilfe des Kapitalwertes und einem Kalkulationszinsfuß von 10% wollen wir nun entscheiden, welche Investition günstiger ist.
-100 + 133,10 . 1,1-2 = 10,00 EUR
-100 + 121,00 . 1,1-1 = 10,00 EUR
Nach dem Kapitalwertkriterium sind beide Investitionen gleich vorteilhaft. Es ist also egal, für welche Maschine wir uns entscheiden.
Warum ist uns dabei unwohl?
Stimmt das wirklich? Genau betrachtet, ist doch die Investition B günstiger. Wir können nämlich schon im ersten Jahr einen Rückfluss von EUR 121,00 ver-zeichnen. Dieses Geld könnte man bereits in t = 1 wieder investieren und mit die-sem Geld weitere Gewinnbeiträge erzielen.
Diese zusätzlichen Gewinnbeiträge kann man in die Rechnung einbeziehen, indem man Investition B durch eine zusätzliche Investition für ein Jahr ergänzt. Diese Investition hat dann eine Anschaffungsauszahlung von EUR 121,00 in t = 1 und führt zu einem Rückfluss in t = 2. Solche zusätzlichen Investitionen, die der Vergleichbarkeit dienen, nennt man Komplementärinvestitionen ("Komplement" = "Ergänzung") oder Differenzinvestitionen.
Komplementärinvestitionen/Differenzinvestitionen
Wenn wir zwei Objekte miteinander vergleichen, können natürlich auch die Anschaffungsauszahlungen voneinander abweichen. Es ist denkbar, dass ein Investitionsobjekt A eine Anschaffungsauszahlung von "-100 EUR" hat, während Investitionsobjekt B eine Anschaffungsauszahlung von "-200 EUR" hat. Sollte der Investor sich für Objekt A entscheiden, braucht er nur EUR 100,00 von seinen insgesamt EUR 200,00, die für die Investitionsplanung vorgesehen sind. Auch in diesem Fall muss zum Investitionsobjekt A eine Komplementärinvestition (Differenzinvestition) vorgenommen werden, um die beiden Objekte vergleichbar zu machen.
Komplementärinvestitionen sind auch dann nötig, wenn sich die Einzahlungs-überschüsse während der Laufzeit unterscheiden. Angenommen Investitionsobjekt A und B haben beide eine Anschaffungsauszahlung von EUR 100,00. In t = 1 erbringe jedoch Objekt A 40,00 EUR, während Objekt B nur EUR 20,00 erziele. Auch hier müsste für Investitionsobjekt A eine Komplementärinvestition vorgenommen werden, da die EUR 20,00 EUR Mehrertrag ja zwischenzeitlich wieder einen Gewinnbeitrag leisten könnten.
Verzinsung der Komplementärinvestitionen (Differenzinvestiti-onen) zum Kalkulationszinsfuß
Man unterstellt nun, dass sich Komplementärinvestitionen (Differenzinvestitionen) zum Kalkulationszinsfuß verzinsen. Dadurch ist ihr Kapitalwert gleich Null. Unter dieser Prämisse brauchen Komplementärinvestitionen nicht ausdrücklich in die Rechnung einbezogen zu werden.
Probleme dieser Prämisse
Diese Prämisse kann zu Fehlentscheidungen führen. Wenn in Wirklichkeit Kom-plementärinvestitionen (Differenzinvestitionen) vorgenommen werden können, die eine höhere oder eine geringere Rendite bringen, als die Anlage zum Kalkulations-zinsfuß, kann es zu Fehlentscheidungen kommen. Allerdings hat dann in diesem Fall schon der gewählte Kalkulationszinsfuß die reale Zinssituation nicht richtig abge-bildet.
Der Interne Zinsfuß (Internal Rate of Return)
Ein weiteres dynamisches Verfahren der Investitionsrechnung ist der Interne Zinsfuß.
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Was bedeutet das? Wir haben gesehen: je höher der Kalkulationszinsfuß, desto niedriger ist der Kapitalwert. Also gibt es auch einen Kalkulationszinsfuß, bei dem der Kapitalwert genau Null ist. Dieser Kalkulationszinsfuß ist der Interne Zinsfuß.
Denken in Zinsgrößen
Wir denken also in diesem Fall nicht mehr in EURO-Beträgen, wie beim Kapitalwert, sondern wir denken in Zinsgrößen. Statt eines EURO-Betrages denken wir jetzt in Verzinsungsgrößen wie zum Beispiel "6 Prozent" oder "4 Prozent".
Interner Zinsfuß: Das Vorteilhaftigkeitskriterium
Ist der Interne Zinsfuß ermittelt, stellt sich die Frage: wie entscheide ich mich jetzt mit Hilfe des Internen Zinsfußes zwischen einer Sachinvestition und einer Finanz-investition? Man vergleicht dazu den Internen Zinsfuß mit dem Kalkulationszinsfuß. Das Kriterium lautet: ist der errechnete Interne Zinsfuß größer als der Kalkulations-zinsfuß, so ist die Investition vorteilhaft. Wenn der Interne Zinsfuß kleiner ist als der Kalkulationszinsfuß, so ist die Investition unvorteilhaft. Bei Gleichheit von Internem Zinsfuß und Kalkulationszinsfuß herrscht Entscheidungsindifferenz.
Wenn wir für den Internen Zinsfuß kurz "IZ" und für den Kalkulationszinsfuß kurz "KZF" schreiben, so können wir zusammenfassen:
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Wir vergleichen also wieder die Sachinvestition mit einer entsprechenden Kapital-anlage. Die Rendite der Sachinvestition wird durch den Internen Zinsfuß reprä-sentiert. Die Rendite der Finanzinvestition wird durch den Kalkulationszinsfuß reprä-sentiert.
Interner Zinsfuß, Berechnung
Wir wissen bereits, dass der Kapitalwert immer kleiner wird, wenn der gewählte KZF größer wird. Nehmen wir an, wir haben einen KZF (z. B. 8%) gewählt und wir erhalten einen Kapitalwert, der noch positiv ist. Nun wählen wir einen deutlich größeren KZF (z.B. 12%), damit der Kapitalwert negativ wird. Wird der mit 12% berechnete Kapitalwert tatsächlich negativ, dann können wir mit der folgenden Näherungslösung den Internen Zinsfuß berechnen1.
Wenn bei 8% der Kapitalwert noch positiv ist und wenn bei 12% der Kapitalwert negativ ist, dann muss zwischen 8% und 12% der Interne Zinsfuß liegen, denn dies ist ja bekanntlich der Zinsfuß, bei dem der Kapitalwert genau Null ist. Durch einsetzen von 8% als „i1“ und von 12% als „i2“ und den dazu gehörigen Kapital-werten in die folgende Formel ergibt sich der Interne Zinsfuß als Näherungslösung. Dieses Vorgehen nennt man auch „Interpolation“.
Interner Zinsfuß, Näherungsformel (Interpolation)
I2 – i1
r = i1 – C 01
C02 – C01
r: Interner Zinsfuß
I1: 1. Versuchszins
I2: 2. Versuchszins
C01: Kapitalwert des 1. Versuchszinses
C02: Kapitalwert des 2. Versuchszinses
Prämissen und Probleme des Internen Zinsfußes
Neben den Prämissen des Kapitalwertes, die hier genauso gelten, hat der Interne Zinsfuß noch weitere Probleme.
Es gibt Zahlungsreihen, die gar keinen Internen Zinsfuß haben, oder Zahlungs-reihen, mit negativen Internen Zinsfüßen, die ökonomisch nicht interpretiert werden können, sowie Zahlungsreihen mit mehreren Internen Zinsfüßen, aus denen man ebenfalls schwer ökonomische Schlüsse ziehen kann. Sobald die Zahlungsreihe länger als zwei Perioden dauert, ist der Interne Zinsfuß rechnerisch schwer zu ermitteln.
Annuität
Die Annuität wird aus dem Kapitalwert hergeleitet. Der Kapitalwert wird einfach mit Hilfe des Wiedergewinnungsfaktors auf jährliche, gleich hohe Größen umgerechnet.
Wenn wir unseren Kapitalwert von EUR 109,65 auf die drei Jahre Laufzeit mit dem Wiedergewinnungsfaktor (Annuitätenfaktor) verteilen, ergibt sich bei einem Kalku-lationsfuß von 5 % eine Annuität von EUR 40,26.
Das Vorteilhaftigkeitskriterium der Annuität ist analog zum Kapitalwert. Ist die An-nuität größer Null, so ist die Sachinvestition vorzuziehen. Ist die Annuität kleiner Null, so ist die Finanzinvestition vorzuziehen.
Für die Annuität gelten die gleichen Prämissen und die gleiche Kritik wie für den Kapitalwert.
Exkurs: Dynamische Amortisationsrechnung
Manche Lehrbücher erwähnen noch ein viertes dynamisches Verfahren, die dy-namische Amortisationsrechnung. Das eingesetzte Kapital hat sich dann amortisiert, wenn der Gegenwartswert der Rückflüsse gerade Null ist. Diese Rückflüsse be-stehen aus der ratierlichen Tilgung und einer Verzinsung in Höhe des Kalkulations-zinsfußes.
1 Wird der Kapitalwert bei 12% noch nicht negativ, müssen wir den KZF noch höher setzen, z. B. auf 15%.
